ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО КУРСА "ВЕРОЯТНОСТЬ и СТАТИСТИКА"
Рабочая программа по учебному курсу "Вероятность и статистика" для обучающихся 10-11 классов
разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного
среднего образования с учётом и современных мировых требований, предъявляемых к
математическому образованию, и традиций российского образования, которые обеспечивают
овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу для непрерывного образования и
саморазвития, а также целостность общекультурного, личностного и познавательного развития
обучающихся. В программе учтены идеи и положения Концепции развития математического
образования в Российской Федерации. В эпоху цифровой трансформации всех сфер человеческой
деятельности невозможно стать образованным современным человеком без базовой математической
подготовки. Уже в школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин,
а после школы реальной необходимостью становится непрерывное образование, что требует
полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. Это
обусловлено тем, что в наши дни растёт число профессий, связанных с непосредственным
применением математики: и в сфере экономики, и в бизнесе, и в технологических областях, и даже в
гуманитарных сферах. Таким образом, круг школьников, для которых математика может стать
значимым предметом, расширяется.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются
фундаментальные структуры нашего мира: пространственные формы и количественные отношения от
простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для
развития научных и прикладных идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание
принципов устройства и использования современной техники, восприятие и интерпретация
разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна
повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять
расчёты и составлять алгоритмы, находить и применять формулы, владеть практическими приёмами
геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц,
диаграмм и графиков, жить в условиях неопределённости и понимать вероятностный характер
случайных событий.
Одновременно с расширением сфер применения математики в современном обществе всё более
важным становится математический стиль мышления, проявляющийся в определённых умственных
навыках. В процессе изучения математики в арсенал приёмов и методов мышления человека
естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и
синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических
умозаключений, правила их конструирования раскрывают механизм логических построений,
способствуют выработке умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым
развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике и в формировании
алгоритмической компоненты мышления и воспитании умений действовать по заданным алгоритмам,
совершенствовать известные и конструировать новые. В процессе решения задач — основой учебной
деятельности на уроках математики — развиваются также творческая и прикладная стороны
мышления.
Обучение математике даёт возможность развивать у обучающихся точную, рациональную и
информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые, символические, графические
средства для выражения суждений и наглядного их представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании является общее знакомство
с методами познания действительности, представление о предмете и методах математики, их отличий
от методов других естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для
решения научных и прикладных задач. Таким образом, математическое образование вносит свой
вклад в формирование общей культуры человека.
Изучение математики также способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию
красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению
идеи симметрии.
Цели изучения учебного курса
Учебный курс «Вероятность и статистика» базового уровня является продолжением и развитием
одноимённого учебного курса базового уровня основной школы. Курс предназначен для формирования
у обучающихся статистической культуры и понимания роли теории вероятностей как математического
инструмента для изучения случайных событий, величин и процессов. При изучении курса обогащаются
представления учащихся о методах исследования изменчивого мира, развивается понимание
значимости и общности математических методов познания как неотъемлемой части современного
естественно-научного мировоззрения.
Содержание курса направлено на закрепление знаний, полученных при изучении курса основной школы
и на развитие представлений о случайных величинах и взаимосвязях между ними на важных примерах,
сюжеты которых почерпнуты из окружающего мира. В результате у обучающихся должно
сформироваться представление о наиболее употребительных и общих математических моделях,
используемых для описания антропометрических и демографических величин, погрешностей в
различного рода измерениях, длительности безотказной работы технических устройств, характеристик
массовых явлений и процессов в обществе.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса «Вероятность и статистика» средней
школы на базовом уровне выделены следующие основные содержательные линии: «Случайные события
и вероятности», «Случайные величины и закон больших чисел».
Важную часть курса занимает изучение геометрического и биномиального распределений и знакомство
с их непрерывными аналогами ― показательным и нормальным распределениями.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой для формирования
представлений о распределении вероятностей между значениями случайных величин, а также эта линия
необходима как база для изучения закона больших чисел — фундаментального закона, действующего в
природе и обществе и имеющего математическую формализацию. Сам закон больших чисел
предлагается в ознакомительной форме с минимальным использованием математического формализма.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами, акцентируют внимание школьников на
описании и изучении случайных явлений с помощью непрерывных функций. Основное внимание
уделяется показательному и нормальному распределениям, при этом предполагается ознакомительное
изучение материала без доказательств применяемых фактов.
Место курса в учебном плане
В Учебном плане на изучение курса «Вероятность и статистика» на базовом уровне отводится 1
учебный час в неделю в течение каждого года обучения, всего 70 учебных часов.
Планируемые предметные результаты освоения Примерной рабочей программы курса (по годам
обучения)
Предметные результаты освоения курса «Вероятность и статистика» в 10—11 классах ориентированы
на достижение уровня математической грамотности, необходимого для успешного решения задач и
проблем в реальной жизни и создание условий для их общекультурного развития.
Освоение учебного курса «Вероятность и статистика» на базовом уровне среднего общего образования
должно обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
10 класс
11 класс
Читать и строить таблицы и диаграммы.
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее, наименьшее
значение, размах массива числовых данных.
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие,
элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта; находить вероятности в
опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать вероятности
событий в изученных случайных экспериментах.
Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие,
противоположное данному событию; пользоваться диаграммами Эйлера и формулой
сложения вероятностей при решении задач.
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события; находить
вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта.
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач.
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и
неудача; находить вероятности событий в серии независимых испытаний до первого
успеха; находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма
распределения.
Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с помощью
диаграмм.
Оперировать понятием математического ожидания; приводить примеры, как применяется
математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по
данному распределению.
Иметь представление о законе больших чисел.
Иметь представление о нормальном распределении.
Содержание учебного курса (по годам обучения)
10 класс
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее арифметическое, медиана, наибольшее
и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события (исходы). Вероятность
случайного события. Близость частоты и вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными
элементарными событиями. Вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными
событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события. Диаграммы Эйлера.
Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента. Формула полной
вероятности. Независимые события.
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Формула бинома Ньютона.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания. Серия независимых
испытаний до первого успеха. Серия независимых испытаний Бернулли.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения. Примеры распределений,
в том числе, геометрическое и биномиальное.
11 класс
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и стандартное
отклонение. Примеры применения математического ожидания, в том числе в задачах из повседневной
жизни. Математическое ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрического и биномиального
распределений.
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный метод исследований.
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности распределения. Задачи, приводящие к
нормальному распределению. Понятие о нормальном распределении.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 класс
№
Наименование разделов и тем
программы
Количество часов Дата
Виды деятельности
Виды
Электронны
контрол е ресурсы
всег контр практ
я
о
раб. раб.
Раздел 1. Представление данных и описательная статистика – 4 часа
1.1. Представление данных с
1
Извлекать информацию из таблиц и диаграмм,
https://ww
помощью таблиц и диаграмм
использовать таблицы и диаграммы для представления
w.yaklass.r u
статистических данных.
1.2. Среднее арифметическое,
1
https://ww
Находить описательные характеристики данных.
медиана
w.yaklass.r u
Выдвигать, критиковать гипотезы о характере случайной
1.3. Наибольшее и наименьшее
1
https://ww
изменчивости
и
определяющих
её
факторах
значения, размах, дисперсия,
w.yaklass.r u
стандартное отклонение
числовых наборов
1.4. Практическая работа
1
1
Практич https://ww
«Представление данных и
еская
w.yaklass.r u
описательная статистика»
работа;
Итого по разделу
4
Раздел 2. Случайные опыты и случайные события, опыты с равновозможными элементарными исходами – 3 часа
2.1. Случайные эксперименты
1
Выделять на примерах случайные события в описанном
https://ww
(опыты) и случайные
случайном опыте.
w.yaklass.r u
события. Элементарные
Формулировать условия проведения случайного опыта.
события (исходы)
Находить вероятности событий в опытах с равновозможными
исходами.
2.2. Вероятность случайного
1
https://ww
Моделировать опыты с равновозможными элементарными
события. Вероятности событий в
w.yaklass.r u
исходами в ходе практической работы
опытах с равновозможными
элементарными событиями.
2.3. Практическая работа «Случайные1
1
Практиче https://ww
опыты и случайные события,
ская
w.yaklass.r u
опыты с равновозможными
работа
элементарными исходами»
Итого по разделу
3
Раздел 3. Операции над событиями, сложение вероятностей – 3 часа
3.1. Операции над событиями:
1
Использовать диаграммы Эйлера и словесное описание
https://ww
пересечение, объединение
событий для формулировки и изображения объединения и
w.yaklass.r u
событий, противоположные
пересечения событий
события
Решать задачи с использованием формулы сложения
вероятностей
3.2. Диаграммы Эйлера
1
3.3. Формула сложения
1
вероятностей
Итого по разделу:
3
Раздел 4. Условная вероятность, дерево случайного опыта, формула полной вероятности и независимость событий – 6 часов
4.1. Условная вероятность
1
Решать задачи на нахождение вероятностей событий, в том
числе условных с помощью дерева случайного опыта.
Определять независимость событий по формуле и по
4.2. Умножение вероятностей
1
организации случайного опыта
4.3. Дерево случайного
1
эксперимента
4.4. Формула полной вероятности 1
4.5. Независимые события
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
1
4.6. Практическая работа
1
«Условная вероятность, дерево
случайного опыта, формула
полной вероятности и
независимость событий»
Итого по разделу:
6
Раздел 5. Элементы комбинаторики – 4 часа
5.1. Комбинаторное правило
1
умножения.
5.2. Перестановки и факториал
1
Практ
ическа
я
работа
1
Использовать правило умножения для перечисления событий в
случайном опыте.
Пользоваться формулой и треугольником Паскаля для
определения числа сочетаний
5.3. Число сочетаний. Треугольник 1
Паскаля
5.4. Формула бинома Ньютона
1
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
Итого по разделу:
4
Раздел 6. Серии последовательных испытаний – 3 часа
6.1. Бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача
1
Разбивать сложные эксперименты на отдельные испытания.
Осваивать понятия: испытание, серия независимых
https://ww
w.yaklass.r u
испытаний.
6.2. Независимые испытания.
1
Серия независимых испытаний
до первого успеха. Серия
независимых испытаний
Бернулли.
6.3. Практическая работа с
1
1
использованием электронных
1
таблиц по теме: «Серии
последовательных испытаний»
Итого по разделу:
3
Раздел 7. Случайные величины и распределения – 6 часов
7.1 Случайная величина
1
7.2 Распределение вероятностей
1
7.3 Диаграмма распределения
1
7.4 Сумма и произведение
1
случайных величин
7.5 Примеры распределений, в том 2
числе геометрическое и
биномиальное
Итого по разделу:
6
Раздел 8. Обобщение и систематизация знаний – 5 часов
8.1. Описательная статистика
1
8.2
8.3
8.4
8.5
Случайные опыты и
вероятности случайных
событий
Операции над событиями
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ
https://ww
w.yaklass.r u
Практич https://ww
еская
w.yaklass.r u
работа;
Осваивать понятия: случайная величина, распределение,
таблица распределения, диаграмма распределения.
Приводить примеры распределений, в том числе
геометрического и биномиального.
Сравнивать распределения случайных величин
Находить значения суммы и произведения случайных величин.
Строить и распознавать геометрическое и биномиальное
распределение
https://ww
w.yaklass.r u
Повторять изученное и выстраивать систему знаний
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
1
1
Элементы комбинаторики,
1
серии независимых испытаний
Итоговая контрольная работа 1
Итого по разделу:
Приводить примеры серий независимых испытаний.
Решать задачи на поиск вероятностей событий в серии
испытаний до первого успеха и в сериях испытаний
Бернулли.
Изучать в ходе практической работы с использованием
электронных таблиц вероятности событий в сериях
независимых испытаний
5
34
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
контр.
работа
1
1
1
4
11 класс
№
Наименование разделов и тем
Количество часов Дата
всего контр. прак.
работ работ
Виды деятельности
Раздел 1. Повторение, обобщение и систематизация знаний – 4 часа
1.1. Случайные опыты и вероятности 2
Повторять изученное и выстраивать систему знаний
случайных событий
1.2. Серии независимых испытаний 1
1.3. Случайные величины и
1
распределения
Итого по разделу
4
Раздел 2. Математическое ожидание случайной величины – 4 часа
2.1. Примеры применения
1
Осваивать понятие математического ожидания.
математического ожидания
Приводить и обсуждать примеры применения
(страхование, лотерея).
математического ожидания. Вычислять математическое
ожидание.
2.2. Математическое ожидание
1
Использовать понятие математического ожидания и его
суммы случайных величин
свойства при решении задач. Находить по известным
2.3. Математическое ожидание
2
формулам математическое ожидание суммы случайных
геометрического и
величин. Находить по известным формулам математические
биномиального
ожидания случайных величин, имеющих геометрическое и
распределений
биномиальное распределения
Итого по разделу
4
Раздел 3. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины – 4 часа
3.2. Дисперсии геометрического и 2
Осваивать понятия: дисперсия, стандартное отклонение
биномиального распределения.
случайной величины. Находить дисперсию по распределению
3.3. Практическая работа с
1
1
использованием электронных
таблиц по теме: «Дисперсия и
стандартное отклонение
случайной величины»
Итого по разделу:
4
Раздел 4. Закон больших чисел – 3 часа
Виды,
Электронны
формы
е
контроля образователь
ные ресурсы
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
Практичес https://ww
кая работа w.yaklass.r u
Практи
ческая
работа
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
4.1. Закон больших чисел
1
Знакомиться с выборочным методом исследования
совокупности данных.
Изучать в ходе практической работы с использованием
электронных таблиц применение выборочного метода
исследования
4.2. Выборочный метод
1
исследований
4.6. Практическая работа с
1
Практи
использованием электронных
1
ческая
таблиц по теме: «Закон больших
работа
чисел»
Итого по разделу:
3
Раздел 5. Непрерывные случайные величины (распределения) – 2 часа
5.1. Примеры непрерывных
1
Осваивать понятия: непрерывная случайная величина,
случайных величин. Функция
непрерывное распределение, функция плотности вероятности.
плотности распределения.
Приводить примеры непрерывных случайных величин.
Находить вероятности событий по данной функции плотности,
5.2. Равномерное распределение
1
в том числе равномерного распределения
и его свойства
Итого по разделу:
2
Раздел 6. Нормальное распределение – 2 часа
6.1. Задачи, приводящие к
1
Осваивать понятия: нормальное распределение.
нормальному распределению.
Выделять по описанию случайные величины, распределённые
Функция плотности и свойства
по нормальному закону. Приводить примеры задач,
нормального распределения
приводящих к нормальному распределению. Находить
числовые характеристики нормального распределения по
6.2. Практическая работа с
1
1
известным формулам. Решать задачи, связанные с
использованием электронных
применением свойств нормального распределений, в том
таблиц по теме: «Нормальное
числе с использованием электронных таблиц
распределения»
Итого по разделу:
2
Раздел 7. Повторение, обобщение и систематизация знаний – 15 часов
7.1 Представление данных с
3
Повторять изученное и выстраивать систему знаний
помощью таблиц и диаграмм
7.2 Описательная статистика
2
7.3
7.4
Опыты с равновозможными
2
элементарными событиями
Вычисление вероятностей
3
событий с применением формул и
графических методов
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.r u
(координатная прямая, дерево,
диаграмма Эйлера)
7.5
7.6
7.7
Случайные величины и
распределения
Математическое ожидание
случайной величины
Итоговая контрольная работа
2
2
1
Итого по разделу:
15
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО 34
ПРОГРАММЕ
контрольн
работа
1
1
1
3
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ, 10 класс
№
п/п
дата
план
Тема урока
факт
Представление данных и описательная статистика – 4 часа
1.
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм
2.
Среднее арифметическое, медиана
3.
Наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числовых наборов
4.
Практическая работа по теме «Представление данных и описательная
статистика»
Случайные опыты и случайные события, опыты с равновозможными элементарными исходами
– 3 часа
5.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события.
Элементарные события (исходы)
6.
Вероятность случайного события. Вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями
7.
Практическая работа по теме «Случайные опыты и случайные
события, опыты с равновозможными элементарными исходами»
Операции над событиями, сложение вероятностей – 3 часа
8.
Операции над событиями: пересечение, объединение событий,
противоположные события
9.
Диаграммы Эйлера
10.
Формула сложения вероятностей
Условная вероятность, дерево случайного опыта, формула полной вероятности и
независимость событий – 6 часов
11.
Условная вероятность
12.
Умножение вероятностей
13.
Дерево случайного эксперимента
14.
Формула полной вероятности
15.
Независимые события
16.
Практическая работа «Условная вероятность, дерево случайного
опыта, формула полной вероятности и независимость событий»
Элементы комбинаторики – 4 часа
17.
Комбинаторное правило умножения
18.
Перестановки и факториал
19.
Число сочетаний. Треугольник Паскаля
20.
Формула бинома Ньютона
Серии последовательных испытаний – 3 часа
21.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача
22.
Независимые испытания. Серия независимых испытаний до первого
успеха. Серия независимых испытаний Бернулли
23.
Практическая работа по теме: «Серии последовательных испытаний»
Случайные величины и распределения – 6 часов
24.
Случайная величина
25.
Распределение вероятностей
26.
Диаграмма распределения
27.
Сумма и произведение случайных величин
28.
Примеры распределений
29.
Геометрическое и биномиальное распределение
Обобщение и систематизация знаний – 5 часов
30.
Описательная статистика
31.
Случайные опыты и вероятности случайных событий
32.
Операции над событиями
Итоговая контрольная работа
Элементы комбинаторики, серии независимых испытаний
33
34
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ, 11 класс
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33
34
дата
план
Тема урока
факт
Повторение, обобщение и систематизация знаний – 4 часа
Случайные опыты
Случайные вероятности случайных событий
Серии независимых испытаний
Случайные величины и распределения
Математическое ожидание случайной величины – 4 часа
Примеры применения математического ожидания (страхование,
лотерея)
Математическое ожидание суммы случайных величин
Математическое ожидание геометрического распределения
Математическое ожидание биномиального распределения
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины – 4 часа
Дисперсия, стандартное отклонение случайной величины
Дисперсия геометрического распределения
Дисперсия биномиального распределения
Практическая работа по теме: «Дисперсия и стандартное
отклонение случайной величины»
Закон больших чисел – 3 часа
Закон больших чисел
Выборочный метод исследований
Практическая работа по теме: «Закон больших чисел»
Непрерывные случайные величины (распределения) – 2 часа
Примеры непрерывных случайных величин. Функция плотности
распределения
Равномерное распределение и его свойства
Нормальное распределение – 2 часа
Функция плотности и свойства нормального распределения
Практическая работа по теме: «Нормальное распределения»
Повторение, обобщение и систематизация знаний – 15 часов
Представление данных с помощью таблиц
Представление данных с помощью диаграмм
Описательная статистика
Опыты с равновозможными элементарными событиями
Вычисление вероятностей событий с применением формул
Вычисление вероятностей событий графическим методом
Вычисление вероятностей событий с применением координатной
прямой, дерева, диаграммы Эйлера)
Случайные величины и распределения
Математическое ожидание случайной величины
Перестановки и факториал
Число сочетаний. Треугольник Паскаля
Формула бинома Ньютона
Операции над событиями
Итоговая контрольная работа
Результаты контрольной работы
